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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 16

Encontre y ' a derivada implícita de x y = sqrt(x ² + y ²) :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x y = sqrt(x^2 + y^2) (d)/(d x) (x y) = (d)/(d x) ( sqrt(x^2 + y^2) )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

1 y + x y^' = (1)/(2 sqrt(x^2 + y^2)) (2 x + 2 y y^') y + x y^' = ((x + y y^'))/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

(y + x y^') sqrt(x^2 + y^2) = x + y y^'

y sqrt(x^2 + y^2) + x y^' sqrt(x^2 + y^2) = x + y y^'

x y^' sqrt(x^2 + y^2) - y y^' = x - y sqrt(x^2 + y^2)

y^' (x sqrt(x^2 + y^2) - y) = x - y sqrt(x^2 + y^2)

y^' = (x - y sqrt(x^2 + y^2))/(x sqrt(x^2 + y^2) - y)

Belezinha?

Resposta

y^' = (x - y sqrt(x^2 + y^2))/(x sqrt(x^2 + y^2) - y)

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