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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 58

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

y = cos - 1 ⁡ ( s e n - 1 t )  

Passo 1

Precisamos derivar a função y = cos - 1 ⁡ ( s e n - 1 t ) , ou seja:

y ' = d d t cos - 1 ⁡ ( s e n - 1 t )

Note que dentro da função do c o s - 1 temos a função s e n - 1 t , então, para que possamos realizar essa derivada vamos utilizar a regrada cadeia.

Lembrando que a regra da cadeia é:

f g x ' = f ' g ( x ) . g ' ( x )

Aqui temos a derivada das inversas trigonométricas,então também é bom lembrar quais são os seus resultados:

s e n - 1 ' t = 1 1 - t 2

cos - 1 ' ⁡ t = - 1 1 - t 2

Passo 2

Então, chamemos de

f ' g x = cos - 1 ⁡ ( s e n - 1 t )

E

g ' x = s e n - 1 t

Aplicando a regra da cadeia temos que:

y ' = cos - 1 ' ⁡ s e n - 1 t s e n - 1 ' t

Isso é:

y ' = d c o s - 1 s e n - 1 t d s e n - 1 t   d s e n - 1 t d t

Substituindo as derivadas que conhecemos, temos:

y ' = - 1 1 - s e n - 1 t 2 ⋅ d d t sen - 1 ⁡ t

y ' = - 1 1 - s e n - 1 t 2 ⋅ 1 1 - t 2

Resposta

- 1 1 - s e n - 1 t 2 ⋅ 1 1 - t 2

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