Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 3
Encontre por derivada implícita. Resolva a equação explícita por e a depois encontre . Cheque as soluções dos dois métodos e anteriores são consistentes e substitua na solução da parte .
3.
Passo 1
Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema é dividido em três partes. Na primeira, ele nos pede para acharmos por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:
Como estamos derivando em função de , devemos aplicar a regra da cadeia para (isso é, sempre que derivar um , multiplica por ).
E depois vamos encontrar a derivada resolvendo a equação explícita, isso é, temos que pegar a equação e isolar o e então derivar a função que vai resultar.
Passo 2
Começando derivando a função implicitamente:
Aqui é só derivar normalmente para e para , sendo que sempre que derivar o tem que multiplicar por (isso vem da regra da cadeia, mas não precisa se preocupar muito com isso não, é só sempre que derivar o multiplicar por ).
Então, devemos isolar para encontrarmos a derivada implícita de :
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte. Ela nos pede para resolvermos a equação explicitamente para , e assim, encontrarmos .
Isolando o na equação,temos:
Sendo assim, derivando essa expressão vamos obter a seguinte derivada:
Passo 4
Por fim, temos que comparar as etapas anteriores e ver se estas concordam. Logo:
Até então parece que essas coisas não concordam muito né. Na verdade, temos que verificar se essa igualdade é verdadeira.
Se pegarmos a expressão dada no enunciado temos que:
Se isolarmos o , obtemos:
Substituindo na igualdade, temos:
Se multiplicarmos ambos os lados por , obtemos:
E por fim, multiplicando o negativo na esquerda, temos:
É realmente a igualdade é verdade e portanto as respostas batem!