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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 22

7 – 46 Encontre a derivada da função.

22. y = x + 1 x 5

Passo 1

Olá, pronto para essa resolução?

A gente tem a função:

y = x + 1 x 5

E devemos encontrar a sua derivada.

A função dada no enunciado é de uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia para calcular a derivada:  

A derivada de uma função composta, f g x ,   onde, g x = u , vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então é assim que iremos resolver essa derivada.

Passo 2

Vamos então aos cálculos:

y ' = d d x x + 1 x 5

A função interna é a seguinte:

u = g x = x + 1 x

E a externa é:

f u = u 5

A derivada de uma função composta:

f g x

onde

g x = u

vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então a derivada da nossa função fica

f ' x = d d u u 5 ⋅ d d x x + x - 1

f ' x = 5 u 4 ⋅ 1 - 1 x 2

Como

u = g x = x + 1 x

então a derivada é igual a

f ' x = 5 x + 1 x 4 ⋅ 1 - 1 x 2

Fazendo o m m c do primeiro termo:

f ' x = 5 x 2 + 1 x 4 ⋅ x 2 - 1 x 2

f ' x = 5 x 2 + 1 4 x 4 ⋅ x 2 - 1 x 2

Fazendo a multiplicação:

f ' x = 5 x 2 + 1 4 x 2 - 1 x 6

Resposta

f ' x = 5 x 2 + 1 4 x 2 - 1 x 6

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