Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 30
30. Se , encontre
Passo 1
Oiee simbora moçadinhaa
A função secante é definida como o recíproco da função cosseno.
Matematicamente, é representada como
Ela descreve o comprimento da hipotenusa dividido pelo comprimento do cateto adjacente em um triângulo retângulo, onde o ângulo é um dos ângulos agudos.
Para encontrar a derivada da função secante utilizamos a regra do quociente.
Se , então a sua derivada é dada por:
Isso pode ser derivado utilizando-se a identidade trigonométrica e a derivada da função tangente,
Para encontrar a segunda derivada de precisamos diferenciar novamente a primeira derivada.
Isso nos leva a aplicar a regra do produto mais uma vez, o que resulta na expressão:
Para encontrar o valor da segunda derivada em um ponto específico, substituímos esse ponto na expressão da segunda derivada.
Por exemplo, se queremos avaliar substituímos na expressão que obtivemos anteriormente.
A função secante está relacionada com o conceito de ângulos em um círculo unitário e o comprimento das hipotenusas em triângulos retângulos associados a esses ângulos.
A derivada e a segunda derivada nos dão informações sobre a taxa de mudança desses comprimentos em relação ao ângulo.
Passo 2
Precisamos derivar duas vezes a função e então aplicar essa derivada no ponto.
Aplicando a derivada na função:
A derivada da secante é a secante vezes a tangente:
Precisamos derivar mais uma vez:
Precismos usar a regra do produto para derivar a função, a derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro:
Passo 3
A derivada da tangente é a secante ao quadrado e a derivada da secante já usamos ali em cima:
Isolando a
Podemos usar a relação:
E substituir a secante ao quadrado da expressão:
Passo 4
Também podemos escrever que a secante é 1 sobre o cosseno:
Agora sim, podemos aplicar a deriva em
A tangente de é igual a 1 e o cosseno de é igual a :
Passo 5
Multilicando por em cima e embaixo:
Então a derivada segunda aplicada a fica: