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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 34

Encontre a derivada da função

34) y = x^2 e^(- (1)/(x))

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom.. queremos encontrar a derivada da seguinte função:

y = x^2 e^(- (1)/(x))

Mas antes, para derivar, nós precisamos observar que existe uma multiplicação entre as funções.

E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto, que é dada da seguinte forma:

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

(u * v)^' = u v^' + u^' v

Com isso, ainda não solucionaremos nosso probleminha totalmente.

Será necessário utilizar a Regra da Cadeia para aplicar a derivada em e^(- (1)/(x)) . Essa regrinha é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Vamos aplicar!!

Passo 2

Vamos dividir a nossa função em duas da seguinte forma:

f (x) = x ²

g (x) = e^(- (1)/(x))

Derivando:

f ' (x) = 2 x

Para derivar a função g vamos ter que usar a Regra da Cadeia, não é? Basta chamarmos:

u = - (1)/(x) = - x^(- 1)

Então:

g (u) = e^u

Para achar (d g ( x ))/(d x) , nós podemos fazer:

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Vamos começar calculando:

(d g ( x ))/(d u) = e^u

E:

(d u)/(d x) = x^(- 2) = (1)/(x^2)

Então:

(d g ( x ))/(d x) = (1)/(x^2) xx e^u

Substituindo u:

g^' (x) = (e^(- (1)/(x)))/(x^2)

Achamos tudo que precisávamos!

Passo 3

Agora só precisamos usar a Regra do Produto, certo?

Então, aplicando na Regra do Produto, temos:

(y)^' = f g^' + f^' g :.

y^' = x ² . (e^(- (1)/(x)))/(x^2) + 2 x e^(- (1)/(x))

Colocando e^(- (1)/(x)) em evidência e simplificando:

y^' = e^(- (1)/(x)) ( 1 + 2 x )

Resposta

y^' = e^(- (1)/(x)) ( 1 + 2 x )

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