Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 51
51 – 54 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
51.
Passo 1
Olá, meu amigo. A gente vai resolver juntos hoje essa atividade.
A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a curva
No ponto
A equação da reta tem a seguinte forma:
Onde:
: coeficiente angular
: coeficiente linear
A derivada de uma função em algum ponto é igual a inclinação da reta tangente a função nesse ponto, ou seja, se calcularmos a derivada da função no ponto dado já teremos a inclinação (o coeficiente angular).
Para encontrarmos o coeficiente linear, basta que substituirmos o ponto dado na equação, pois este ponto precisa pertencer a reta.
Em relação a derivada de
Veja que teremos que utilizar a regra da cadeia, pois aqui temos uma composição de funções. Temos a função potência elevada a função afim.
A regra da cadeia, utilizada quando temos uma derivação de uma função composta:
Se e então e a derivada de é:
Passo 2
Derivando a função:
Para facilitar a nossa vida, vamos reescrever essa função da seguinte forma:
Agora podemos aplicar a regra da cadeia:
Derivando:
Agora podemos simplificar o primeiro termo:
Temos então nosso coeficiente angular da reta em função de , vamos encontrar para o ponto dado.
Passo 3
Aplicando no ponto
Então
Já temos , se aplicarmos o ponto na equação da reta o único valor que estará faltando é o , então conseguimos o valor dos dois coeficientes:
Então a equação da reta é: