51 – 54 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

51. y = 2^x , 0,1

Passo 1

Olá, meu amigo. A gente vai resolver juntos hoje essa atividade.

A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a curva

y = 2 x

No ponto

( 0,1 )

A equação da reta tem a seguinte forma:

y = A x + B

Onde:

A : coeficiente angular

B : coeficiente linear

A derivada de uma função em algum ponto é igual a inclinação da reta tangente a função nesse ponto, ou seja, se calcularmos a derivada da função no ponto dado já teremos a inclinação (o coeficiente angular).

Para encontrarmos o coeficiente linear, basta que substituirmos o ponto dado na equação, pois este ponto precisa pertencer a reta.

Em relação a derivada de

y = 2 x

Veja que teremos que utilizar a regra da cadeia, pois aqui temos uma composição de funções. Temos a função potência elevada a função afim.

A regra da cadeia, utilizada quando temos uma derivação de uma função composta:

Se y = f g x e u = g ( x ) então y = f ( u ) e a derivada de y é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Derivando a função:

y ' = d d x 2 x

Para facilitar a nossa vida, vamos reescrever essa função da seguinte forma:

y = 2 x = e ln ⁡ 2 x = e x ln ⁡ 2

Agora podemos aplicar a regra da cadeia:

y ' = d [ e x ln ⁡ 2 ] d ( x ln ⁡ 2 ) ∙ d x ln ⁡ 2 d x

Derivando:

y ' = e x ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ 2

Agora podemos simplificar o primeiro termo:

y ' = 2 x ln ⁡ 2

Temos então nosso coeficiente angular da reta em função de x , vamos encontrar para o ponto dado.

Passo 3

Aplicando no ponto 0 ,   1

y ' 0 = 2 0 ln ⁡ 2

y ' 0 = ln ⁡ 2

Então

A = ln ⁡ 2

Já temos A , se aplicarmos o ponto na equação da reta o único valor que estará faltando é o B , então conseguimos o valor dos dois coeficientes:

1 = ln ⁡ 1 0 + B

1 = 0 + B

B = 1

Então a equação da reta é:

y = ln ⁡ 2 ⋅ x + 1

Resposta

y = ln ⁡ 2 ⋅ x + 1

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