Enunciado

Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y / d x .

y = 4 + 3 x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pediu para gente escrever a função composta na forma f g x , identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) . E então encontrar a derivada d y / d x .

Sendo a função dada por:

y = 4 + 3 x

Dessa forma, faremos exatamente o que foi pedido.

Chamaremos

u = g x = 4 + 3 x

Que é a função de dentro. E

y = f u = u

A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' u ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.

Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas parte para substituir na regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a função de fora. Sendo

y = f u = u

Podemos transformar essa raiz em uma potência de expoente fracionário usando a seguinte regra:

x b a = x b a

Assim:

y = f u = u 1 2

E sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente.

f ' u = d d u u 1 2 = 1 2 u 1 2 - 1

E teremos:

f ' u = 1 2 u - 1 2

Invertendo a potência de expoente negativo e voltando para a forma de raiz, teremos:

f ' u = 1 2 u

Maravilha.

Passo 3

Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo

u = g x = 4 + 3 x

Lembrando que a deriva de constante é igual a zero, teremos:

g ' x = d d x 4 + 3 x = 3

Agora basta substituir tudo na regra da cadeia.

Passo 4

Sendo:

d y d x = d d x f g x = f ' u ⋅ g ' x

d y d x = d d u u ⋅ d d x 4 + 3 x

d y d x = 1 2 u ⋅ 3

Como u = 4 + 3 x então:

d y d x = 3 2 4 + 3 x

E prontinho, temos nossa resposta.

Resposta

u = 4 + 3 x e y = u

d y d x = 3 2 4 + 3 x

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