Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 2
Escreva a função composta na forma . [Identifique a função de dentro e a de fora .] Então encontre a derivada .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pediu para gente escrever a função composta na forma , identifique a função de dentro e a de fora . E então encontrar a derivada .
Sendo a função dada por:
Dessa forma, faremos exatamente o que foi pedido.
Chamaremos
Que é a função de dentro. E
A derivada da função composta é dada pela regra da cadeia. Sendo:
Ou seja, a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora.
Boa, agora basta irmos atrás de cada uma dessas parte para substituir na regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar derivando a função de fora. Sendo
Podemos transformar essa raiz em uma potência de expoente fracionário usando a seguinte regra:
Assim:
E sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente.
E teremos:
Invertendo a potência de expoente negativo e voltando para a forma de raiz, teremos:
Maravilha.
Passo 3
Agora vamos derivar a função de dentro. Sendo
Lembrando que a deriva de constante é igual a zero, teremos:
Agora basta substituir tudo na regra da cadeia.
Passo 4
Sendo:
Como então:
E prontinho, temos nossa resposta.
Resposta
e