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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 29

Encontre a derivada da função

29) F (t) = e^(t . s e n ( 2 t ))

Passo 1

Olá, amigo. Yuri aqui e estou aqui para te ajudar a resolver essa atividade.

Precisamos então derivar essa função. Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. Além disso, possuímos também o produto de funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

A regra da cadeia tem a seguinte face:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) ((d u)/(d x))

Sei que não parece muito intuitivo, mas prometo que irá melhorar quando estiver de fato resolvendo.

Já a regra do produto:

(d (u v))/(d x) = u ((d v)/(d x)) + v ((d u)/(d x))

Passo 2

Para começar vamos realizar uma substituição para a aplicação da regra da cadeia:

u = t . s e n ( 2 t )

Então:

F ( u ) = e^u

Muito bem, já achamos u e F ( u ) . Agora precisamos achar (d F ( t ))/(d t) , mas como?

Aplicando a regra da cadeia que vimos no passo 1:

(d F ( t ))/(d t) = (d F ( t ))/(d u) . (d u)/(d t)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos começar por (d u)/(d t) . Então vamos derivar u com relação à t , mas aqui nós temos uma multiplicação de funções. O que fazemos então?

Usamos a Regra do Produto! Basta chamarmos:

f (t) = t

g (t) = s e n ( 2 t )

Derivando a função f :

f ' (t) = 1

Para a função g usamos, novamente, a Regra da Cadeia, pois temos aqui novamente uma função dentro de outra função:

g^' (t) = (d)/(d t) (2 t) ((d)/(d u) sin u)

g ' (t) = 2 . cos ( 2 t )

Agora sim podemos achar (d u)/(d t) :

(d u)/(d t) = 2 t cos ( 2 t ) + s e n ( 2 t )

Agora vamos derivar F ( t ) em função de u para achar (d F ( t ))/(d u) :

(d F ( t ))/(d u) = e^u

Substituindo u :

(d F ( t ))/(d u) = e^(t . s e n ( 2 t ))

Agora vamos colocar na derivada (d F ( t ))/(d t) do passo 1:

(d F ( t ))/(d t) = e^(t . s e n ( 2 t )) (2 t cos ( 2 t ) + s e n ( 2 t ))

Resposta

F^' ( t ) = e^(t . s e n ( 2 t )) (2 t cos ( 2 t ) + s e n ( 2 t ))

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