Encontre a derivada.

f(x) = tanh(raiz(x))

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos dá a função

f x = tanh ⁡ x

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que podemos perceber é que a função é uma função composta, então para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

A segunda coisa que podemos perceber é que estamos trabalhando com funções hiperbólicas e a derivada da tangente hiperbólica é dada pelo teorema fundamental do cálculo como

d tanh ⁡ x d x = sech 2 ⁡ x

Saca só!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia na nossa função

f ' x = d x d x · d tanh ⁡ x d x

Pela regra da potência e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d x d x = 1 2 x

d tanh ⁡ x d x = sech 2 ⁡ x

Substituindo em f ' x

f ' x = 1 2 x · sech 2 ⁡ x

f ' x = sech 2 ⁡ x 2 x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f x ' = sech 2 ⁡ x   2 x

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