Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 28
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente usar uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o valor de .
Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E a função linear cujo gráfico é essa reta tangente é dada por:
Na notação de diferenciais, essa aproximação linear pode ser escrita como:
Onde é um ponto que arbitramos, próximo ao nosso ponto de interesse (), e .
Como a questão não nos deu a função nem o ponto, nosso primeiro passo é definir essa função e sua derivada. Depois, definimos um ponto próximo ao valor dado e calculamos o valor da função e da derivada no ponto. Por fim, basta somarmos a diferencial ao valor da função no ponto para obtermos nossa aproximação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo a nossa função. Como temos um cosseno, podemos escrever:
Derivando essa função, vamos ter:
Agora vamos definir , porque é um ponto próximo de e conhecemos o valor do cosseno e do seno desse ângulo. Dessa forma, temos:
Como , convertendo para radianos, ficamos com:
Assim, temos:
Mas como vimos no passo , . Então nossa aproximação é dada por:
E substituindo e , temos:
Ou
Valeu, galera! Até a próxima! 😉