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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.10 - Ex. 16

Encontre a derivada usando a Fórmula (18) e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.

(a) d d x ∫ - 1 x 2 t + 1 d t

(b) d d x ∫ π 1 / x s i n ⁡ ( t ) d t

Passo 1

(a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Então:

d d x ∫ - 1 x 2 t + 1 d t = x 2 + 1 x 2 ' = x 2 + 1 ( 2 x )

∴

d d x ∫ - 1 x 2 t + 1 d t = 2 x x 2 + 1

Passo 2

Agora, vamos conferir calculando a integral e depois derivando o resultado:

∫ - 1 x 2 t + 1 d t = 2 t + 1 3 2 3 - 1 x 2 = 2 x 2 + 1 3 2 3 - 2 - 1 + 1 3 2 3

∫ - 1 x 2 t + 1 d t = 2 x 2 + 1 3 2 3

Derivando:

d d x ∫ 1 x 3 1 t d t = 2 3 3 2 x 2 + 1 1 2 2 x = 2 x x 2 + 1

Opa, tudo certo, os resultados bateram!!

Passo 3

(b) Mesma coisa aqui:

d d x ∫ π 1 / x s i n ⁡ ( t ) d t = sin ⁡ 1 x - 1 x 2 = - sin ⁡ 1 x x 2

Passo 4

Conferindo, calculando a integral e depois derivando o resultado:

∫ π 1 / x s i n ⁡ ( t ) d t = - cos ⁡ x π 1 / x = - cos ⁡ 1 x - - c o s ⁡ ( π ) = - cos ⁡ 1 x - 1

Derivando:

d d x ∫ π 1 / x s i n ⁡ ( t ) d t = - sin ⁡ 1 x x 2

Tudo certo, os resultados bateram!!

Resposta

(a) 2 x x 2 + 1

(b) - sin ⁡ 1 x x 2

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