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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 10

Calcule

10. int ( 7 x^3 sqrt(x) ) dx

Passo 1

Começamos utilizando um conceito de radiciação que diz que qualquer raiz pode ser escrita como um exponencial, nesse caso é possível escrever a integral proposta da seguinte forma:

I = int ( 7 x^3 ) ( x^((1)/(2)) ) d x

Agora, a xpressão apresenta uma multiplicação entre duas bases iguais, porém com expoentes diferentes, nesse caso basta conservar a base e somar os expoentes de modo que a integral assume uma nova cara.

I = int ( 7 x^((7)/(2)) ) d x

Passo 2

Agora começa a resolução da integral. E para organizar melhor a resolução, todas as constantes dentro da integral passam para o lado de fora se essas (constantes) estiverem multiplicando a variável em questão. Dessa maneira encontramos a seguinte relação para a integral:

I = int ( 7 x^((7)/(2)) ) d x = 7 int ( x^((7)/(2)) ) d x

Passamos então a resolução da integral.

Passo 3

Vamos recordar que pela regra de integral temos que qualquer integral de uma variável pode ser resolvida da seguinte maneira:

I= int ( x^n ) d x = (x)/(n + 1)^(n + 1) + c

onde n é o expoente da variável. Agora aplicaremos esse conceito a integral encontrada acima.

I = 7 int ( x^((7)/(2)) ) d x

I = 7 ((x^((9)/(2)))/((9)/(2))) + c

Não se esqueçam de que o resultado da integral sempre vem acompanhado da soma de uma constante, ela serve pra diferenciar a sua função das infinitas que são paralelas a ela.

Resposta

Chegamos então a seguinte resultado:

I = (14 x^((9)/(2)))/(9)

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