Enunciado

Para qualquer distribuição normal, calcule a probabilidade de uma variável aleatória estar dentro de dois desvios padrão da média.

Passo 1

Primeiro a gente traduz esse enunciado: os limites da nossa integral serão a média ± dois desvios padrões, então nossa fórmula é a seguinte: P ( μ - 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ ) .

Passo 2

Assim, temos

P μ - 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ = ∫ μ - 2 σ μ + 2 σ 1 σ 2 π e - x - μ 2 2 σ 2

Passo 3

Agora, aplicando substituição, temos

t = x - μ σ ,   d t = 1 σ d x

Então a gente finaliza colocando na integral:

∫ - 2 2 1 σ 2 π e - t 2 2 σ d t = 1 2 π ∫ - 2 2 e - t 2 2 d t ≈ 0.9545

Resposta

0.9545 .

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