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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 53

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

G x = 1 - x 2 arccos ⁡ x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que calculemos a derivada da seguinte função:

G x = 1 - x 2 arccos ⁡ x

Para isso, devemos utilizar algumas regrinhas.

A regra do produto: sejam u e v funções deriváveis, então a derivada do produto u * v é dada por:

u * v = u ' v + u v '

Também utilizaremos a regra da cadeia, onde uma derivada d y d x pode ser dada da seguinte forma:

d y d x = d y d u * d u d x

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Para derivar G ( x ) vamos usar a regra do produto:

G ' x = d d x 1 - x 2 a r c c o s   x

Assim,

d d x 1 - x 2 a r c c o s   x = arccos ⁡ x ⋅ d d x 1 - x 2 + 1 - x 2 d d x arccos ⁡ x  

Vamos resolver essas duas derivadas de forma separada e depois a gente substitui o resultado nessa expressão aí de cima, belezinha? 😉

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, temos que:

d d x 1 - x 2 = d d u u * d d x 1 - x 2 ∴

d d x 1 - x 2 = - x 1 - x 2

Por outro lado, resolvendo a outra derivada:

d d x arccos ⁡ x = - 1 1 - x 2

Passo 4

Substituindo as duas derivadas, temos:

d d x 1 - x 2 arccos ⁡ x = arccos ⁡ x ⋅ - x 1 - x 2 + 1 - x 2 - 1 1 - x 2 ∴

d d x 1 - x 2 arccos ⁡ x = - x arccos ⁡ x 1 - x 2 + - 1 ∴

d d x 1 - x 2 arccos ⁡ x = - 1 - x arccos ⁡ x   1 - x 2

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

- 1 - x arccos ⁡ x   1 - x 2

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