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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 8

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

x^2 - 2 x y + y^3 = c

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a derivada implícita da seguinte expressão:

x^2 - 2 x y + y^3 = c

Bom... é dada uma equação que exprime y implicitamente como função de x e é solicitado a derivada de y com relação a x que deve ser obtida por derivação implícita.

Assim, a resposta é dado tanto em função de x como de y (que depende implicitamente de x ).

Bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . `

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, temos que:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

Derivando a equação x^2 - 2 x y + y^3 = c com relação a x e como c é uma constante, temos que:

2 x - (2 * 1 * y + 2 x * y^') + 3 y^2 * y^' = 0

Assim,

2 x - 2 y - 2 x y^' + 3 y^2 y^' = 0

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (3 y^2 - 2 x) = 2 y - 2 x

y^' = (2 y - 2 x)/(3 y^2 - 2 x)

Resposta

y^' = (2 y - 2 x)/(3 y^2 - 2 x)

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