Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 48
A Regra da Potência pode ser demonstrada usando a derivação implícita para o caso é um número racional, , e é suposta de antemão ser uma função derivável. Se , então . Use a derivação implícita para mostrar que
Passo 1
Bom galera, nesse exercício queremos demonstrar a regra do produto utilizando derivação implícita. Para isso, iremos considerar que nossa função é derivável e que
Passo 2
Primeiramente, iremos derivar a seguinte equação em relação a
Agora, iremos isolar para encontrar a nossa derivada de utilizando derivação implícita.
Passo 3
Agora, iremos rearranjar os termos. Sabemos que pelas propriedade de potência
Podemos então reescrever da seguinte forma
Mas, sabemos pelo enunciado da questão que
e
Podemos então reescrever novamente com base no que sabemos
Novamente, pelas propriedades de potência, temos que
Então, temos que
Resposta
Como queremos mostrar, a regra do produto se da pela seguinte forma