A figura mostra uma lâmpada localizada três unidades à direita do eixo y e uma sombra originada pela região elíptica x 2 + 4 y 2 ≤ 5 . Se o ponto ( - 5 ,   0 ) estiver na borda da sombra, qual a altura da lâmpada acima do eixo x ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente descobrir a altura da lâmpada acima do eixo x , sabendo que ela está localizada três unidades à direita do eixo y e uma sombra originada pela região elíptica x 2 + 4 y 2 ≤ 5 , com o ponto ( - 5 ,   0 ) na borda da sombra.

Para isso, iremos utilizar a derivação implícita para determinar a inclinação y '   da reta e usar as relações do triângulo formado pela lâmpada e sua sombra.

Vamos lá!

Passo 2

Derivando ambos os lados da equação da região elíptica, vamos ter:

x 2 + 4 y 2 = 5

2 x + 8 y y ' = 0

Isolando y ' , temos:

y ' = - x 4 y

Sendo ( a ,   b ) o ponto de encontro entre a reta que passa pelos pontos ( 3 ,   h ) e ( - 5 ,   0 ) , onde h é a altura da lâmpada, podemos encontrar a inclinação dessa reta utilizando a seguinte fórmula

m = ∆ y ∆ x = h 8

Podemos encontrar y ' utilizando a mesma fórmula. Entre os pontos ( a ,   b ) e ( - 5 ,   0 ) , temos

y ' = ∆ y ∆ x = b a + 5

Igualando a expressão obtida com

y ' = - x 4 y = - a 4 b

Temos

- a 4 b = b a + 5

a 2 + 4 b 2 = - 5 a

Passo 3

Se o ponto ( a ,   b ) pertencer a elipse, podemos escrever

x 2 + 4 y 2 = 5

a 2 + 4 b 2 = 5

Dessa forma, temos um sistema com duas incógnitas e duas equações

a 2 + 4 b 2 = 5 a 2 + 4 b 2 = - 5 a

Resolvendo o sistema, encontramos o seguinte resultado

a = - 1 e b = 1

Podemos então encontrar h com base na relação encontrada anteriormente

h 8 = b a + 5

h = 2

Sendo assim, a lâmpada se encontra 2 unidades acima do eixo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A lâmpada se encontra 2 unidades acima do eixo.

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