Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 29
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Falai galerinha, bora macetar essa comigo?
Primeiro, identificamos a forma do limite quando se aproxima de :
Conforme tende a 0:
- tende a
- tende a
Portanto, a expressão assume a forma indeterminada
A Regra de L'Hôpital é usada para resolver limites de funções que resultam em formas indeterminadas do tipo
A regra afirma que, se
é uma forma indeterminada, então:
se esse limite existir.
Passo 2
Para aplicar a Regra de L'Hôpital, precisamos encontrar as derivadas de e .
Para encontrar a derivada de , usamos a regra de derivação de funções inversas.
Se , então
Diferenciando ambos os lados em relação a
Assim,
Sabemos que
já que
Portanto, a derivada de é:
A derivada de é simplesmente:
Passo 3
Substituímos as derivadas na expressão original:
Passo 4
Quando tende a 0,
Portanto, temos:
Portanto, a resposta para nosso limite, é