Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 11
Encontre por derivação implícita.
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:
O enunciado pede para encontrar utilizando o método da derivação implícita. Quando uma equação envolve duas variáveis, como e não pode ser facilmente resolvida para uma das variáveis em termos da outra, pode ser necessário usar a derivação implícita.
A derivação implícita é um método para diferenciar uma equação em relação a uma variável quando as duas variáveis estão interligadas. Aqui estão algumas dicas sobre como resolver essa equação utilizando a derivação implícita:
Identificar a variável dependente e a variável independente: Neste caso, a variável dependente é e a variável independente é
Diferenciar ambos os lados da equação com relação a Isso significa aplicar a operação de diferenciação em cada termo da equação em relação a Lembre-se de usar a regra da cadeia sempre que houver uma função de envolvida.
Isolar na equação resultante: Após diferenciar ambos os lados da equação, vamos ter uma expressão que envolve . O objetivo é isolar nessa expressão.
Simplificar e resolver para : Se possível, simplifique a expressão resultante e resolva para .
Passo 2
Agora, vamos aplicar essas dicas à equação fornecida:
Iremos diferencie ambos os lados da equação com relação a
Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar e respectivamente.
Isolar na equação resultante.
Simplificar e resolver para se possível.
Agora bora lá aplicar!! 😉
Passo 3
Vamos derivar a equação dada com relação a .
É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depede de e também deve ser derivado!!!
Assim, temos que:
Que nada mais é do que a aplicação da regra da cadeia.
Derivando a equação com relação a , temos que:
Pela regra da cadeia, temos:
Assim,
Passo 4
Isolando , temos que
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉