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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 69

Determine d y // d x por derivação implícita sqrt(x y) = 1

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) sqrt(x y) = (d)/(d x) ( 1 )

Passo 2

A expressão à esquerda da igualdade possui uma função composta dentro da radiciação. Assim é necessário aplicar a regra da cadeia, tendo que aplicar a regra da multiplicação na função composta, obtendo nesse termo a derivada implícita. No lado direito temos a derivada de uma constante que será nula. Assim:

(1)/(2) ( x y ) ^(1 // 2 - 1) (d)/(d x) ( x y ) = 0

(1)/(2) ( x y ) ^(1 // 2 - 1) (d)/(d x) x * y + x (d y)/(d x) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo temos que:

(1)/(2) (1)/(sqrt(( x y ))) ( y + x (d y)/(d x) ) = 0

Passo 4

Simplificando o termo (1)/(2) (1)/(sqrt(( x y ))) temos que:

y + x (d y)/(d x) = 0

Resposta

Passando o termo y para o lado esquerdo da igualdade e passando x dividindo, o resultado será:

(d y)/(d x) = - (y)/(x)

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