Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.13 - Ex. 9
A reta tangente à curva , no ponto , e , intercepta os eixos e nos pontos e , respectivamente. Mostre que a distância de e não depende de .
Passo 1
Primeiramente devemos encontrar a reta tangente:
Para achar a reta tangente, podemos usar a fórmula:
Onde :
Para , devemos primeiramente derivar implicitamente a função em relação a , para isso, devemos lembrar que a derivada de é , assim:
Assim, no ponto , temos .
Passo 2
Retomando a fórmula , temos:
Se pertence à curva , então , e portanto, a equação da reta tangente será dada por:
Passo 3
Agora, precisamos achar as interseções com os eixos que são os pontos e :
Vamos supor a interseção com o eixo (, então:
Agora para a interseção com o eixo (:
Então, a distância entre e é dada por:
Se sabemos que :
Assim, para qualquer , a distância entre e será sempre , ou seja, provamos que a distância de e não depende de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)