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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 13

Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares ( 2 , π / 3 ) e ( 4,2 π / 3 ) .

Passo 1

Falaee, beleza?? Bom... Queremos calcular a distância entre os pontos com coordenadas polares:

( 2 , π / 3 )

E

( 4,2 π / 3 )

Bom... podemos calcular a distância d utilizando a seguinte equação:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Onde x 1 , y 1 e x 2 , y 2 são coordenadas cartesianas...

Então, vamos converter nossos pontos para coordenadas cartesianas:

Sabemos que x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ . Sabe de onde vem essas fomulinhas? Se liga na figura abaixo que mostra a relação entre coordenadas cartesianas e polares para um ponto P :

Em outras palavras, temos que:

r , θ → r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ   = x , y

Passo 2

Agora vamos descobrir qual a coordenada cartesiana de ( 2 , π / 3 ) :

x 1 , y 1 = 2 cos ⁡ π 3 , 2 sin ⁡ π 3

x 1 , y 1 = ( 1 , 3 )

E, para ( 4,2 π / 3 ) , temos:

x 2 , y 2 = 4 cos ⁡ 2 π 3 ,   4 sin ⁡ 2 π 3

x 2 , y 2 = - 2 ,   2 3

Agora que temos dois pontos com coordenadas cartesianas, podemos usar nossa fórmula para distância:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

d = - 2 - 1 2   + 2 3 - 3 2

d = 9 + 3

d = 12

d = 2 3  

Resposta

d = 2 3

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