Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 33
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
33. Parábola, foco , diretriz
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seu foco e diretriz para encontrarmos sua equação:
Parábola, foco , diretriz
Sabemos que é uma parábola, e parábolas tem equações no formato:
ou
Mas qual das duas??? Vai depender da sua diretriz.
Se a diretriz for em , a parábola terá concavidade para esquerda ou direita. Caso for , terá concavidade para cima ou para baixo.
Em seguida, precisamos saber que a distância entre o foco e o vértice é a mesma entre a diretriz e o vértice, ou seja: o vértice está localizado na metade da distância entre o foco e a diretriz.
Assim, descobrimos as variáveis necessárias para a nossa equação!! 😉
Passo 2
Como temos nossa diretriz igual a sabemos que essa é uma parábola no eixo , portanto da forma:
Agora, lembre que a distância entre o foco e o vértice é a mesma entre a diretriz e o vértice, ou seja: o vértice está localizado na metade da distância entre o foco e a diretriz.
Veja que a distância entre eles é unidades, então nosso vértice está unidades acima do foco e abaixo da diretriz:
Passo 3
Como o vértice é diferente de , temos um deslocamento no eixo de.
Também sabemos que o foco de uma parábola é
Então temos
Com isso, nossa equação fica:
Veja a nossa parábola plotada:
Perceba que o foco e o vértice estão de acordo com o que calculamos 😉