Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 42
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas
42. Elipse, focos , passando por
Passo 1
Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus focos e vértices para encontrarmos sua equação.
Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato:
Ou no formato:
Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo , podemos ver isso pelas coordenadas dos focos e vértice, que mudam apenas em .
Em que:
É a coordenada do centro.
Passo 2
O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus focos, então nosso centro será
Podemos chamar de a distância do centro da elipse ao foco, então teremos
Da definição de elipse, sabemos que a soma das distâncias entre um ponto na elipse até um dos focos dela com a distância desse mesmo ponto até o outro foco é igual a metade da distância entre o centro e o vértice da elipse, ou seja, isso é igual a .
Para entendermos melhor, podemos escrever:
Então vamos calcular a distância entre E :
Agora vamos calcular a distância entre e :
Show! Agora ficou fácil encontrar .
Também sabemos que existe uma relação entre , tal que , então trocando os valores, encontramos:
Com isso tudo, podemos montar nossa equação: