Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

43. Hipérbole, vértices ( ± 3 , 0 ) , focos (± 5, 0)

Passo 1

Eaee!! Tudo certinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.

Para isso, ele nos dá três condições:

  1. Trata-se de uma hipérbole;
  2. Possui focos em 5 ,   0 e - 5 ,     0 ;
  3. Tem vértices em 3 ,   0 e - 3 ,   0 .

Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma hipérbole.

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Agora vamos aplicar esses conceitos!! 😉

Passo 2

Pela definição dos vértices ( ± a ,   0 ) , podemos encontrar a 2 :

a 2 = 3 2 ∴

a 2 = 9

E com os focos ( ± c ,   0 ) , encontramos c 2 :

c 2 = 5 2 ∴

c 2 = 25

Assim, podemos encontrar b 2 através da equação de c :

c 2 = a 2 + b 2 ∴

b 2 = 25 - 9 ∴

b 2 = 16

Substituindo os valores calculados, equação então ficará:

x 2 9 - y 2 16 = 1

Resposta

x 2 9 - y 2 16 = 1

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