Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 17
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Fala ai pessoal! Tranquilo?
Para começarmos a resolver, vamos montar uma estratégia de resolução? Saber quais são os passos?
Bora!
Primeiro temos que encontrar a primeira e a segunda derivada da posição .
Em seguida calcular o vetor tangente unitário e a derivada do vetor tangente
, e por fim podemos calcular a curvatura com a fórmula .
Vamos começar!!!
Passo 2
Na letra A, vamos calcular a derivada da função
Note que derivamos termo a termo, assim:
Passo 3
O vetor tangente unitário pode ser calculada a partir da equação , para isso, temos que calcular separadamente os termos (já foi calculada no Passo ) e .
Calculando
Colocando 0 termo em evidências
Sabemos que
Então,
Passo 4
Agora podemos substituir os termos na equação do vetor tangente.
Derivando temos que:
E agora, que temos a derivda, fazemos:
Passo 5
E então, para calcularmos o vetor normal fazemos:
Simplificando a fração
Simplificando o vetor
Passo 6
Por fim, na Letra B. Iremso utilizar a fórmula 9:
Substituindo os termos
Simplificando
Resposta
a) e
b)