Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

44. Hipérbole, vértices (0, ±2) focos (0, ±5)

Passo 1

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1  

Ou:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Dependendo qual seu eixo.

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do foco, que mudam apenas em y .

Nesses casos utilizamos a fórmula de:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Onde o foco é:

0 , ± c

Onde:

c 2 = a 2 + b 2

E o vértice é:

0 , ± a

Passo 2

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos

V 1 = 0 , - 2   e   V 2 = ( 0,2 )

Nosso centro será ( 0,0 ) . Portanto:

( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em Y são:

f = ( 0 , ± c )

E os vértices são:

V = ( 0 , ± a )

Então sabemos que c = 5 e a = 2 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 4 + b 2

b 2 = 21

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

x 2 4 - y 2 21 = 1

Abaixo a gente vai plotar o gráfico da nossa curva com os seus pontos importantes:

Resposta

x 2 4 - y 2 21 = 1

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