Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 19
Determine se a serie é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
19.
Passo 1
Fala, galera boa! Tudo show?
A questão nos deu essa série. Beleza. E o que ela quer? Que a gente defina ela em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Primeiro, pra ser absolutamente convergente, o módulo dessa série também deve ser.
Agora olha direitinho pra ela. Hummmmmmm... Tem uma fatorial ali. Yeah!
Quando aparecer a fatorial e pedir o que pede no enunciado, corremos logo para o Teste da Razão! Ela se resolve assim:
Se esse , a série é absolutamente convergente, logo convergente.
Se ou , a série é divergente.
Se , nada poderemos afirmar: inconclusivo dizer para esse teste.
Passo 2
Verificando a convergência absoluta:
Usando o fato que qualquer que seja , podemos escrever a desigualdade:
Lembra que no círculo trigonométrico, o corresponde ao intervalo de e .
Como jogamos no módulo, só pode ser .
Passo 3
Agora vamos jogar na fórmula do Teste da Razão.
Lembrando que nosso vai ser o valor do módulo da nossa série.
Assim,
Multiplicando pelo inverso do denominador, já que estamos trabalhando com divisão de frações:
Depois iremos colocar nosso do denominador em evidência e depois cancelar com o numerador:
Substituindo, sabemos que tende a zero, portanto:
Como o resultado é , temos que a série em estudo converge.
Portanto, a série do enunciado converge absolutamente.