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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 46

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

46. Hipérbole, vértices - 1,2   7,2 ,   focos ( - 2,2 ) e ( 8,2 )

Passo 1

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1  

ou

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

dependendo qual seu eixo.

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em x , então a equação é do tipo

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do foco e vértice, que mudam apenas em x , então a equação é do tipo

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 2

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos

V 1 = - 1,2   e   V 2 = 7,2

nosso centro será 3,2 . Portanto

( x 0 , y 0 ) = ( 3,2 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em X são

f = ( x 0 ± c , y 0 )

então

3 + c = 8

c = 5

Os vértices são

V = ( x 0 ± a , y 0 )

então sabemos que

3 + a = 7

a = 4

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 16 + b 2

b 2 = 9

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x - 3 2 16 - y - 2 2 9 = 1

Abaixo a gente pode ver o nosso gráfico:

Resposta

y - 1 2 25 - x + 3 2 39 = 1

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