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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 48

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

48. Hipérbole, focos ( 2,0 ) e 2,8 ,   assíntotas y = 3 + 1 2 x e y = 5 - 1 2 x

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e assíntotas para encontrarmos sua equação.

Temos a hipérbole com focos em 2,0 e 2,8 . Além disso, deveremos ter assíntotas:

y = 3 + 1 2 x

E

y = 5 - 1 2 x

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

  ou

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

dependendo qual seu eixo. Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do vértice, que mudam apenas em y , então a equação é do tipo:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Passo 2

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus focos, como aqui temos

f 1 = 2,0   ;   f 2 = ( 2,8 )

nosso centro será

2,4

Portanto

( x 0 , y 0 ) = ( 2,4 )

Como o foco:

f = ( x 0 ,   y 0 ± c )

4 + c = 8

então

c = 4

Sabemos através das assíntotas que

y = ± a b x

a b = 1 2

então

b = 2 a

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que

c 2 = a 2 + b 2

então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

4 2 = a 2 + ( 2 a ) 2

16 = 5 a 2

a = 4 5

b = 2 a = 8 5

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

y - 4 2 16 / 5 - x - 2 2 64 / 5 = 1

Ou podemos escrever da forma:

5 y - 4 2 16 - 5 x - 2 2 64 = 1

Abaixo a gente tem o gráfico da nossa hipérbole feito no GeoGebra:

Resposta

5 y - 4 2 16 - 5 x - 2 2 64 = 1

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Faça um esboço da parábola com equação y = x 2 - 8 x . Ache (a) o vértice, (b) a equação do eixo, (c) o foco e (d) a equação da diretriz.
Dada a parábola com equação y 2 + 8 x - 6 y = 7 , ache (a) o vértice, (b) a equação do eixo, (c) o foco e (d) a equação da diretriz. Faça um esboço da curva.
Nos exercícios de 1 a 4, (a) ache a equação da parábola tendo o foco e a diretriz dados, (b) ache o comprimento do latus rectum e (c) faça um esboço da parábola.1.Foco em ( 0 ,- 3 ) ; diretriz, y = 3
Nos exercícios de 1 a 4, (a) ache a equação da parábola tendo o foco e a diretriz dados, (b) ache o comprimento do latus rectum e (c) faça um esboço da parábola.2.Foco em ( 0 ,4 ) ; diretriz, y = - 4
Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico. 3 x 2 + 8 y = 0