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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 46

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

46. Hipérbole, vértices ( - 1 ,     2 ) , ( 7 ,     2 ) , focos - 2 ,     2 , ( 8 ,     2 )

Passo 1

Eaee!! Tudo certinho?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.

Para isso, ele nos dá três condições:

  1. Trata-se de uma hipérbole;
  2. Possui focos em - 2 ,     2 e 8 ,     2 ;
  3. Tem vértices em ( - 1 ,     2 ) e ( 7 ,     2 ) .

Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma hipérbole.

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Agora vamos aplicar esses conceitos!! 😉

Passo 2

Tanto os vértices quanto os focos possuem coordenada y = 2 , o que significa que a equação da hipérbole será do tipo:

x 2 a 2 - ( y - 2 ) 2 b 2 = 1

Os focos e os vértices não estão simétricos entre si, o que significa que a hipérbole está transladada sobre o eixo x também.

Para encontrarmos o centro, basta calcularmos a distância entre os vértices:

7 - - 1 = 8

E então dividimos por 2 :

8 2 = 4

O centro então será ( 3 ,   2 ) , portanto:

a = 4

Agora sabemos o quanto o centro foi transladado para cima, e a equação se torna:

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 b 2 = 1

Passo 3

Pela distância entre os focos podemos obter c também:

c = 8 - ( - 2 ) 2 = 5

Pela equação de c , basta substituir os valores que encontramos para calcular b 2 :

c 2 = a 2 + b 2 ∴

25 = 4 + b 2 ∴

b 2 = 21

A equação da hipérbole então será:

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 21 = 1

Resposta

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 21 = 1

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