Enunciado

Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:

x 2 + 9 y 2 = 9

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma elipse:

x 2 + 9 y 2 = 9

Podemos dividir toda a equação por 9 para deixar na fórmula padrão:

x 2 9 + y 2 1 = 1

Queremos calcular os vértices e os focos dessa elipse. Mas o que são eles?

Para responder isso, vamos analisar a figura abaixo de uma elipse:

  • O é o centro da elipse;
  • F 1 e F 2 são seus focos;
  • A 1 e A 2 são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
  • B 1 e B 2 são as extremidades do eixo vertical (vértices);
  • 2 b é a distância entre B 1 e B 2 ;
  • 2 c é a distância entre F 1 e F 2 ;
  • 2 a é a distância entre A 1 e A 2 .

Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Onde a e b são constantes e mostradas na figura anterior.

Aplicando essa equação e analisando a nossa definição da elipse, a gente encontra os vértices e os focos. Agora bora lá!! 😉

Ah... lembre-se que os vértices estão sempre em cima de um dos eixos de coordenadas, viu?

Passo 2

Calculamos então o valor de a e b da nossa equação comparando com a fórmula mostrada no passo 1.

Assim, podemos inferir que:

a 2 = 9 ∴

a = ± 9 ∴

a = ± 3

E

b 2 = 1 ∴

b = ± 1 ∴

b = ± 1

Com isso, percebemos que os vértices da horizontal são:

3 ,   0 e - 3 ,   0

E os vértices da vertical:

0 ,   1 e 0 ,   - 1

Logo, percebemos que trata-se de uma elipse com eixo maior na horizontal.

Assim, marcando esses pontos e traçando a elipse, temos:

Passo 3

Com isso, podemos calcular os focos c :

c = ± a 2 - b 2 ∴

c = ± 9 - 1 ∴

c = ± 2 2

Assim, como a elipse tem lado maior na horizontal, os focos são:

2 2 ,   0 e - 2 2 ,   0

Resposta

Vértices:

3 ,   0 e - 3 ,   0

0 ,   1 e 0 ,   - 1

Focos:

2 2 ,   0 e - 2 2 ,   0

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