Determine o tipo de curva representado pela equação em cada um dos seguintes casos:

1. , (b) e (c)

(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de .

a) Quando , podemos reescrever nossa equação como:

Essa é uma equação de , já que obedece o formato

b) Quando , nossa equação pode ser reescrita como

Essa é uma equação de , já que obedece o formato

c) Vamos analisar nossa equação com cuidado:

Sabemos que e sempre são números positivos e quando , ambos os denominadores da nossa equação e são números negativos.

A divisão entre um número positivo e um negativo é negativo, então nossa equação fica:

Mas veja que isso é impossível de acontecer, a soma de dois números negativos nunca será um número positivo, então nesse caso nossa equação e não existe nenhum par de números reais que satisfaça a equação.

d) Precisamos mostrar que todas as curvas dos itens (a) e (b) possuem os mesmos focos.

Bom, nós temos duas possibilidades:

Caso 1:

Como visto no item (a), a equação fica

Nossos focos são

Onde

Então

Caso 2:

Como visto no item (b), a equação pode ser escrita como:

Nossos focos são

Onde

Então

Tanto para o Caso 1 quando para o Caso 2, nós concluímos que o foco é , qualquer que seja o valor de , desde que