Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 30
Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.
Passo 1
E aí, galerinha!
Nesse problema temos que identificar o que a equação:
Descreve e também temos que encontrar seus vértices e focos.
Parece complicado?
Para resolver esse problema temos que apenas fazer manipulações algébricas na equação para encontrar uma equação simplificada de uma seção cônica.
Uma dica é: Juntar os termos e completando quadrados...
Veja só!
Passo 2
Galera, vamos começar manipulando essa equação algebricamente.
Vamos agrupar os termos que possuem e os que possuem .
Podemos perceber que temos dois produtos notáveis quaaase completos.
Vamos completar os quadrados para chegarmos na equação da cônica. Para o , vamos somar nos dois lados da igualdade; para , vamos somar dos dois lados da equação.
Assim,
Vamos dividir a equação por
Tranquilo até aqui?
Passo 3
A forma geral da elipse com seu eixo maios na horizontal e centro no ponto é:
Portanto, para o nosso problema, e , o centro é o ponto . Os vértices estão em .
Os focos estão nos pontos . Para descobrirmos o valor de , vamos fazer uso da seguinte equação:
Assim, os focos estão em .
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
A cônica é uma elipse com vértices e focos .