Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

43. Hipérbole, vértices ± 3,0 focos ±5,0

Passo 1

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1  

ou

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

dependendo qual seu eixo.

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas do foco, que mudam apenas em y .

Nesses casos utilizamos a fórmula de:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1  

Onde o foco é:

0 , ± c

Onde:

c 2 = a 2 + b 2

E o vértice é:

0 , ± a

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos

V 1 = - 3,0   e   V 2 = ( 3,0 )

nosso centro será ( 0,0 ) .

Portanto

( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 )

Passo 2

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em Y são f = ( ± c , 0 ) , e os vértices são V = ( ± a , 0 ) , então sabemos que c = 5 e a = 3 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 9 + b 2

b 2 = 16

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x 2 9 - y 2 16 = 1

Temos então o nosso gráfico com os pontos importantes da hipérbole plotado abaixo:

Resposta

x 2 9 - y 2 16 = 1

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