Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 25
Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:
Passo 1
Eaee, tudo certinho contigo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:
Queremos identificar o tipo de seção cônica que estamos estudando (uma parábola, uma elipse, uma hipérbole...).
Para isso, temos que fazer algumas pequenas manipulações algébricas e comparar com a equação geral das demais seções cônicas.
Também queremos encontrar os vértices e os focos.
Vamos primeiro procurar qual é a nossa seção cônica que depois eu te mostro como a gente encontra os vértices e os focos 😉
Passo 2
Vamos passar as variáveis para um lado e deixar os termos constantes do outro:
Como o termo está subtraindo o termo , podemos dizer que é uma hipérbole.
Vamos deixar a equação na forma padrão, para isso, basta dividirmos tudo por :
Passo 3
Agora queremos encontrar os vértices e os focos. Mas o que são eles??
Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:
Nessa figura temos que:
- e são os focos;
- e são os vértices;
- As retas pontilhadas são as assíntotas;
- A distância do centro a um dos focos é dada por ;
- A distância do centro a um dos vértices é dada por ;
- A distância do centro a um dos conjugados é dada por .
Temos também que:
Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 4
Agora podemos calcular os valores de e :
E com eles, o valor de :
Agora podemos encontrar as coordenadas dos vértices através de sua definição:
E pela definição dos focos:
Resposta
Vértices:
Focos: