Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:

4 * x^2 = y^2 + 4

Passo 1

Eaee, tudo certinho contigo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

4 x 2 = y 2 + 4

Queremos identificar o tipo de seção cônica que estamos estudando (uma parábola, uma elipse, uma hipérbole...).

Para isso, temos que fazer algumas pequenas manipulações algébricas e comparar com a equação geral das demais seções cônicas.

Também queremos encontrar os vértices e os focos.

Vamos primeiro procurar qual é a nossa seção cônica que depois eu te mostro como a gente encontra os vértices e os focos 😉

Passo 2

Vamos passar as variáveis para um lado e deixar os termos constantes do outro:

4 x 2 - y 2 = 4

Como o termo y 2 está subtraindo o termo 4 x 2 , podemos dizer que é uma hipérbole.

Vamos deixar a equação na forma padrão, para isso, basta dividirmos tudo por 4 :

x 2 - y 2 4 = 1

Passo 3

Agora queremos encontrar os vértices e os focos. Mas o que são eles??

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x a 2 - y b 2 = 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 4

Agora podemos calcular os valores de a e b :

a 2 = 1

a = ± 1

b 2 = 4

b = ± 2

E com eles, o valor de c :

c = ± a 2 + b 2

c = ± 5

Agora podemos encontrar as coordenadas dos vértices através de sua definição:

± a , 0 = ( ± 1 ,   0 )

E pela definição dos focos:

± c , 0 = ± 5 ,   0

Resposta

Vértices:

( ± 1 ,   0 )

Focos:

± 5 ,   0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas 45-Hipérbole, focos (1,3) e (7,3) , vértices (2,3) e (6,3)
Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas:Elipse, focos (± 2,0) , passando por (2,1)
Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.41-Elipse, centro (2,2) , focos (0,2) , vértice (5,2)
Encontre uma equação para a cônica que satisfaça as condições dadas.46-Hipérbole, focos (2, -2) e (2,8) , vértices (2,0) e (2,6)
Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.16 * x^2 - 9 * y^2 + 64 * x - 90 * y = 305