Enunciado

Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico:

x 2 - y 2 + 2 y = 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma hipérbole:

x 2 - y 2 + 2 y = 2

Queremos encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole. Mas o que são eles??

Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:

Nessa figura temos que:

  • F 1 e F 2 são os focos;
  • A 1 e A 2 são os vértices;
  • As retas pontilhadas são as assíntotas;
  • A distância do centro O a um dos focos F é dada por c ;
  • A distância do centro O a um dos vértices A é dada por a ;
  • A distância do centro O a um dos conjugados B é dada por b .

Temos também que:

c 2 = a 2 + b 2

Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:

x a 2 - y b 2 = 1

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Precisamos primeiro reescrever a equação de maneira que ela fique semelhante à equação padrão da hipérbole.

Para isso, vamos subtrair 1 dos dois lados:

x 2 - y 2 + 2 y - 1 = 2 - 1

Colocamos então o sinal negativo em evidência para alguns termos da equação (para podermos completar quadrados depois):

x 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) = 1

Completando quadrados:

x 2 - y - 1 2 = 1

Passo 3

Ambos os denominadores são 1 , o que significa:

a = b = 1

E então, calculando c :

c = ± a 2 + b 2

c = ± 2

Passo 4

Com esses valores, podemos encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices, devemos apenas tomar cuidado com o y - 1 na equação da hipérbole, que significa que a figura está movida uma unidade para cima.

Pela definição dos vértices, já considerando que a figura está movida em uma unidade, teremos:

± a ,   1 = ( ± 1 ,   1 )

E pela definição dos focos:

± c ,   1 = ( ± 2 ,   1 )

Passo 5

E as assíntotas serão:

y = ± a b x + 1

Substituindo os valores de a e b , temos:

y = ± x + 1

Passo 6

O gráfico da hipérbole dada será:

Resposta

Vértices:

( ± 1 ,   1 )

Focos:

( ± 2 ,   1 )

Assíntotas:

y = ± x + 1

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