Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 23
Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico:
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma hipérbole:
Queremos encontrar os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole. Mas o que são eles??
Bom... para respondermos isso temos que analisar a figura da hipérbole abaixo:
Nessa figura temos que:
- e são os focos;
- e são os vértices;
- As retas pontilhadas são as assíntotas;
- A distância do centro a um dos focos é dada por ;
- A distância do centro a um dos vértices é dada por ;
- A distância do centro a um dos conjugados é dada por .
Temos também que:
Também sabemos que a equação geral que descreve uma hipérbole centrada na origem é dada por:
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Precisamos primeiro reescrever a equação de maneira que ela fique semelhante à equação padrão da hipérbole.
Para isso, vamos subtrair dos dois lados:
Colocamos então o sinal negativo em evidência para alguns termos da equação (para podermos completar quadrados depois):
Completando quadrados:
Passo 3
Ambos os denominadores são , o que significa:
E então, calculando :
Passo 4
Com esses valores, podemos encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices, devemos apenas tomar cuidado com o na equação da hipérbole, que significa que a figura está movida uma unidade para cima.
Pela definição dos vértices, já considerando que a figura está movida em uma unidade, teremos:
E pela definição dos focos:
Passo 5
E as assíntotas serão:
Substituindo os valores de e , temos:
Passo 6
O gráfico da hipérbole dada será:
Resposta
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
