Encontre o vértice, o foco, e a diretriz da parábola e esboce o seu gráfico.

y^2 + 6y + 2x + 1 = 0

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte equação que descreve uma parábola:

y 2 + 6 y + 2 x + 1 = 0

Queremos encontrar o vértice, o foco e a diretriz dessa parábola... mas o que são eles?

Bom... seja a seguinte parábola:

  • O ponto F é chamado de foco e determina essa figura;
  • A reta r é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
  • O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.

Para encontrarmos o foco e a diretriz, temos que encontrar o valor de p na seguinte equação padrão da parábola:

y 2 = 4 p x

E, para encontrarmos o vértice, basta reorganizar a equação dada e ver os números que estão somando ou subtraindo os valores de x e y .

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos encontrar o valor de p organizando a equação dada:

y 2 + 6 y + 2 x + 1 = 0

y 2 + 6 y = - 2 x - 1

Somando 9 nos dois lados:

y 2 + 6 y + 9 = - 2 x + 8

Completando quadrado do lado direito e tirando fator comum do lado direito:

y + 3 2 = - 2 ( x - 4 )

Agora através da equação padrão da parábola:

y 2 = 4 p x

Podemos comparar o termo que multiplica os parênteses da equação com o lado direito da equação acima, p será:

4 p = - 2

p = - 1 2

Passo 3

Logo, o foco que é dado por ( p , 0 ) será

- 1 2 + 4 ,   0 - 3 = 7 2 ,   - 3

E a diretriz pode ser obtida pela equação:

x = - p + 4

x = 9 2

Repare que somamos as translações nas definições de foco e de diretriz, pois elas são dadas no livro para uma parábola que NÃO está transladada.

Passo 4

Para obtermos o vértice, precisamos olhar para a equação do passo 2 que obtemos:

y + 3 2 = - 2 ( x - 4 )

Assim, os termos que estão subtraindo a x e a y (caso seja uma soma, nós invertemos o sinal) na equação serão as coordenadas do ponto.

Então comparando, podemos concluir que o vértice será ( 4 ,   - 3 ) .

Resposta

Foco: 7 2 ,   - 3

Diretriz: x = 9 2

Vértice: ( 4 ,   - 3 )

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