Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado.

y = e^x * cos(x), em 0,1

Passo 1

Oieee, bora resolver mais uma questãozinha

O enunciado nos apresenta uma função (   y   =   e x c o s x ) e nos pede para encontrar uma equação para a curva representada por essa função no ponto especificado 0,1 .

Entendimento da função: Primeiro, precisamos entender a função (   y   = e x cos ⁡ x ) . Essa função é o produto de duas funções: (   e x ) , que é uma função exponencial, e c o s x , que é uma função cosseno.

Derivada da função: Para encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular a derivada da função em relação a (   x   ) . Isso nos dará a taxa de variação instantânea da função em qualquer ponto.

Substituição do ponto na derivada: Em seguida, substituímos as coordenadas do ponto especificado na derivada da função. Isso nos dará a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

Equação da reta tangente: Finalmente, usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta para escrever a equação da reta tangente, usando as coordenadas do ponto e a inclinação da reta.

No caso da função (   y   =   e x c o s x ) , a derivada é encontrada usando a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Depois de encontrar a derivada, substituímos as coordenadas do ponto 0,1 nela para encontrar a inclinação da reta tangente. Por fim, usamos a equação ponto-inclinação para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Derivando a função:

y ' = e x ' cos ⁡ x + e x ⋅ cos ⁡ x ' = e x cos ⁡ x - e x s e n   x = e x ( cos ⁡ x - s e n   x )

Substituindo x = 0 , achamos o coeficiente angular:

m = e 0 cos ⁡ 0 - s e n   0 = 1

Passo 3

Usando m = 1 , x 0 = 0 e y 0 = 1 na equação da reta:

y - 1 = 1 ⋅ ( x - 0 )

y = x + 1

Resposta

y = x + 1 .

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