Dados x e d x = ∆ x , calcule dy e ∆y . Depois, mostre em um diagrama a reta tangente.

x = 0; dx = -0,3

y = x - x³

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo!

O enunciado pediu pra gente encontrar a diferencial d y e a variação Δ y , dados x e d x = Δ x .

Para calcular ∆ y ,   vamos precisar usar a fórmula:

∆ y = f x + ∆ x - f x

Depois, vamos substituir f x = x - x 3 , para x = 0 e d x = - 0,3 de modo que a gente consiga obter o valor de Δ y .

Além disso, vamos calcular o valor da diferencial, usando a definição:

d y = f ' x ∙ d x

Onde f ' ( x ) é a derivada da função y = x - x 3 .

Vamos lá!

Passo 2

Sabemos que para calcular ∆ y ,   vamos ter que usar:

∆ y = f x + ∆ x - f x

Mas d x = ∆ x e temos d x = - 0,3 e x = 0 . Então, vamos ficar com:

∆ y = f 0 + - 0,3 - f 0

∆ y = f - 0,3 - f 0

Só que f - 0,3 = - 0,3 - 0,3 3 e f 0 = 0 . Logo, teremos:

∆ y = - 0,3 - - 0,3 3 - 0

Resolvendo:

∆ y = - 0 , 2 7 3

Passo 3

Agora, para achar d y , vamos usar:

d y = f ' x ∙ d x

Calculando a derivada de y = x - x 3 , temos f ' x = 1 - 3 x 2 . Então, substituindo na expressão, vamos ter:

d y = 1 - 3 x 2 ∙ d x

Em x = 0 , essa derivada nos fornece f ' 0 = 1 . Além disso, temos d x = - 0,3 . Logo, teremos:

d y = 1 ∙ ( - 0,3 )

d y = - 0,3

Agora representando a reta tangente no ponto x = 0 , junto coma nossa função y = x - x 3 , temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∆ y = - 0,273

d y = - 0,3

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