33-36 Encontre uma equação da reta tangente á curva no ponto dado.

y = raiz(x, 4) - x, (1, 0)

Passo 1

Falaaa aí galerinha bonita! Tudo joinha?!!

Bom, nessa questão precisaremos encontrar as equações das retas tangente no ponto ( 1,0 )   da curva dada por:

y = x 4 - x

Vamos por parte aqui ok?

Para encontrar a equação da reta tangente a uma dada curva em um ponto específico podemos usar a seguinte relação:

y -   y 0   = m ⋅ x - x 0

Sendo esse m o valor da derivada da no ponto dado, e x 0 e y 0 as coordenadas do ponto dado.

Então vamos à luta!!!

Passo 2

Temos que encontrar a equação da reta tangente à curva:

  y = x 4 - x

No ponto ( 1,0 ) . Vamos lá, a gente sabe que a equação da reta tangente é dada por:

y -   y 0   = m ⋅ x - x 0

Trazendo pro nosso caso então, vamos derivar a função, pra ficar mais bonitinho, eu vou transformar essa raiz em exponente, desse jeito ó:

y = x 4 - x

  y = x 1 4 - x

Assim, derivando teremos:

y ' = 1 4 x 1 4 - 1 - 1

O que nos dá:

y ' = 1 4 x - 3 4 - 1

Invertendo essa parte com expoente negativo, ficamos com:

y ' = 1 4 x ³ 4 - 1

Agora, vamos usar o ponto dado no enunciado 1,0

E então no ponto x = 1 , temos que:

y ' x = 1 4 x ³ 4 - 1

y ' 1 = 1 4 1 ³ 4 - 1 = 1 4 - 1 = - 3 4

Esse é o coeficiente angular da nossa reta!

Passo 3

Continuando...

Pelo próprio ponto 1 ,   0 , a gente sabe que f 1 = 0 , então montamos a equação da reta tangente como:

y -   y 0   = m ⋅ x - x 0

y - 0 = - 3 4 ( x - 1 )

y = 3 4 - 3 4 x

Belezinha então! Essa é a equação da reta tangente à função no ponto ( 1,0 ) .

Resposta

y = 3 4 - 3 4 x

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