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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.3 - Ex. 4

Encontre uma equação para

(a) a família de retas passando pela origem.

(b) a família de retas com corte no eixo x igual a a = 1 .

(c) a família de retas que passam pelo ponto 1 , - 2 .

(d) a família de retas paralelas a 2 x + 4 y = 1 .

Passo 1

(a) A equação da família das retas é desse tipo:

y = m x + b

Onde m é a inclinação (coeficiente angular) e b é o coeficiente linear (onde corta o eixo y ). Logo, se queremos que queremos que a reta passe pela origem, ela deve cortar o eixo y em x = 0 , logo, como b é o corte da reta no eixo y , b = 0 :

y = m x + 0

∴

y = m x

Prontinho!

Passo 2

(b) Agora queremos que o corte com o eixo x (onde y = 0 ) seja a = 2 . Dessa forma, a reta deve passar pelo ponto ( 2,0 ) :

y = m x + b

Substituindo o ponto:

0 = 2 m + b

m = - b 2

Dessa forma, todas as retas da família devem obedecer à essa relação:

y = - b 2 x + b

Passo 3

(c) Aqui, a reta deve passar pelo ponto ( 1 , - 2 ) :

y = m x + b

Substituindo o ponto:

- 2 = m + b

m = - b - 2

Dessa forma, todas as retas da família devem obedecer à essa relação:

y = ( - b - 2 ) x + b

Passo 4

(d) Para uma reta ser paralela à outra, os coeficientes angulares devem ser iguais, ou seja, se temos uma reta y = m x + b , uma reta paralela à ela é do tipo y = m x + c . Os coeficientes lineares não precisam ser iguais!!

Logo, queremos a família de retas paralelas à:

2 x + 4 y = 1

Mas, antes, vamos isolar y para ver que reta é essa e identificar seu coeficiente angular:

4 y = 1 - 2 x

y = 1 - 2 x 4 = 1 4 - 2 4 x

∴

y = - 1 2 x + 1 4

Então, temos que achar a família de retas com o mesmo coeficiente angular dessa reta, ou seja, m = - 1 2 :

y = - 1 2 x + b

Resposta

(a) y = m x

(b) y = - b 2 x + b

(c)

y = - b - 2 x + b

(d)

y = - 1 2 x + b

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