Encontre a fórmula para f^(-1)(x) e de o domínio da função f^(-1)

f(x) = (x + 2)^4, x >= 0

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = (x + 2)^4

Tomando a raiz à quarta dos dois lados, temos:

+- root(4)(y) = x + 2

E subtraindo 2 dos dois lados:

- 2 +- root(4)(y) = x + 2 - 2

x = - 2 +- root(4)(y)

Quando a gente faz raiz par, sempre existe a possibilidade de a resposta ser +- , então não esquece, ok? Só que a gente vai acabar escolhendo só um dos sinais. Afinal, o enunciado disse que:

x >= 0

Logo:

x + 2 >= 2

(x + 2)^4 >= 16

y >= 16

Se y >= 16 , a opção x = - 2 - root(4)(y) vai resultar num x <= 0 ! Viu só? Não disse que íamos escolher um sinal só?? Vamos ter:

x = - 2 + root(4)(y) , y >= 16

E trocando x , y de lado, achamos a nossa inversa:

y = - 2 + root(4)(x)

f^(- 1) (x) = - 2 + root(4)(x) , x >= 16

A questão pede ainda pra gente dizer o domínio. Como o domínio é exatamente o conjunto de valores de x para o qual a função está definida, temos:

D_f^(- 1) = x in [ 16 , + oo [

Resposta

f^(- 1) (x) = - 2 + root(4)(x)

D_f^(- 1) = x in [ 16 , + oo [

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