O movimento vertical de um peso atado a uma mola é descrito pelo problema de valor inicial

1 / 4 * (d^2x) / (d^2t) + (dx) / (dt) + x = 0, x(0) = 4, x' (0) = 2

Determine o deslocamento vertical máximo.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Pra começar essa aqui, temos que resolver essa EDO aqui:

1 4 d 2 x d t 2 + d x d t + x = 0

Temos a equação auxiliar:

1 4 m 2 + m + 1 = 0

Resolvendo, encontramos:

m 1 = m 2 = - 2

Passo 2

Daí, a solução é da forma:

x t = c 1 e - 2 t + c 2 t e - 2 t

Agora vamos descobrir esse c 1   e   c 2 aí, usando as condições iniciais:

    x 0 = 4 ,     x ' 0 = 2

x 0 = c 1 e 0 + c 2 0 e 0 = 4

c 1 = 4

Derivando...

x ' t =   - 2 c 1 e - 2 t - 2 c 2 t e - 2 t + c 2 e - 2 t

x ' 0 = - 2 c 1 e 0 - 2 c 2 0 e 0 + c 2 e 0 = 2

- 2 c 1 + c 2 = 2

c 2 = 2 + 8 = 10

Nossa solução então é:

x t = 4 e - 2 t + 10 t e - 2 t

Passo 3

Já achamos a expressão do deslocamento, agora vamos achar o deslocamento máximo, encontrando o ponto onde a derivada é nula:

x ' t =   - 8 e - 2 t - 2 0 t e - 2 t + 10 e - 2 t

= e - 2 t 2 - 20 t = 0

Como e - 2 t ≠ 0 , temos que:

2 - 20 t = 0

t = 1 10

E aí o deslocamento máximo então é:

x 1 10 = 4 e - 2 10 + 10 1 10 e - 2 10

≈ 4,094

Prontinho! 😉

Resposta

4,094

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