Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.5 - Ex. 10
Encontre uma equação da parábola. A seguir, ache o foco e a diretriz.
Passo 1
Nessa questão, nos foi dado o gráfico da seguinte parábola para retirarmos dele sua equação:
Em seguida, devemos calcular o foco e diretriz.
Sabemos que a equação geral da parábola é dada por:
em que e são as coordenadas do vértice. Além disso, o parâmetro é a distância do foco ao vértice da parábola.
Para encontrarmos o foco , precisaremos da seguinte expressão:
E, como se trata de uma prábola com concavidade voltada para cima, a nossa diretriz terá a equação no seguinte formato:
Passo 2
Pelo desenho, podemos concluir que o vértice se encontra em:
Vale lembrar que temos uma parábola no eixo , com concavidade para cima, o quer dizer que o sinal do é positivo.
Aplicando esse ponto na equação geral da parábola, temos:
Agora para descobrir o valor de , vamos pegar um ponto do gráfico, por exemplo.
Nesse ponto temos:
Logo, a equação geral da nossa parábola é dada por:
Passo 3
Sabemos foco de uma parábola é da forma .
Nesse caso, sabemos pelo ponto do vértice que .
Além disso, também vimos no Passo 2 que .
Então foco é:
Passo 4
A diretriz de uma parábola pode ser encontrada fazendo , portanto, substituindo os valores: