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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 2

Determine a área da superfície.

A parte do plano 2 ⋅ x + 5 ⋅ y + z = 10 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 9

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Passo 2

Temos que nossa função é z = 10 - 2 ⋅ x - 5 ⋅ y . Para nossa superfície, podemos aplicar uma transformação para coordenadas polares, assim temos que nossos intervalos serão

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 3 - 2 2 + - 5 2 + 1 ⋅ r ⋅ d r ⋅ d θ =

= 30 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 3 r ⋅ d r ⋅ d θ = 30 ⋅ θ 0 2 ⋅ π ⋅ 1 2 ⋅ r 2 0 3 = 2 ⋅ π ⋅ 1 2 ⋅ 9 ⋅ 30 = 9 ⋅ π ⋅ 30

Resposta

A S = 9 ⋅ π ⋅ 30

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