Enunciado

Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x 2 + y 2 = 25 e y 2 + z 2 = 20 no ponto 3 ,   4 ,   2 .

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A gente tem duas curvas:

x 2 + y 2 = 25

e

y 2 + z 2 = 20

E na intersecção dessas curvas, iremos encontrar uma reta tangente no ponto

3,4 , 2

Para que possamos resolver essa questão, primeiro de tudo deveremos encontrar a curva de intersecção. Veja que por essa curva ser interseção, ela pertence tanto a x 2 + y 2 = 25 quanto a y 2 + z 2 = 20 .

A equação da reta tangente a uma curva vetorial é dada por:

v t = r t 0 + t × r ' t 0

O ponto t 0 é o ponto onde temos o valor de t para o local de coordenadas cartesianas:

3,4 , 2

Então iremos encontrar uma parametrização r ( t ) para a nossa curva de interseção. Depois disso, nós iremos encontrar a derivada r ' ( t ) .

A função r ' t nos dará a direção (e também a magnitude, embora isso não seja importante aqui) dos vetores tangentes por natureza da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a curva C da interseção. A projeção de C no plano x y está contida no círculo:

x 2 + y 2 = 25

E então:

z = 0

Pois temos que aqui:

x 2 + y 2 + 0 2 = 25

Como temos um círculo, podemos parametrizar a partir da função seno e cosseno, assim, podemos escrever:

x = 5 cos ⁡ t

y = 5   s e n   t

Passo 3

C também está contido no cilindro, como comentamos:

y 2 + z 2 = 20

E:

z ≥ 0

Perto do ponto 3 ,   4 ,   2 , então podemos escrever:

z = 20 - y 2

E com a parametrização anterior:

z = 20 - 25 s e n 2   t

Passo 4

Uma equação vetorial então para C é:

r ( t ) = 5 cos ⁡ t ,   5 s e n   t ,   20 - 25 s e n 2   t

Isso implica que a derivada de r t é:

r ' t = - 5 s e n   t ,   5 cos ⁡ t , 1 2 20 - 25 s e n 2   t 1 2 - 50 s e n   t cos ⁡ t

Passo 5

O ponto 3 ,   4 ,   2 corresponde a t = cos - 1 ⁡ 3 5 = 0,9273 , então o vetor tangente é:

r ' 0,9273 = - 5 s e n   0,9273 ,   5 cos ⁡ 0,9273 , 1 2 20 - 25 s e n 2   0,9273 1 2 - 50 s e n   0,9273 cos ⁡ 0,9273

r ' 0,9273 = - 5 4 5 ,   5 3 5 , 1 2 20 - 25 4 5 2 1 2 - 50 4 5 3 5

r ' 0,9273 = ( - 4,3 , - 6 )

A linha tangente é paralela a esse vetor e passa através dos pontos 3 ,   4 ,   2 , então uma equação vetorial para a linha é:

r t = 3 - 4 t i + 4 - 3 t j + 2 - 6 t k

Resposta

r t = 3 - 4 t i + 4 - 3 t j + 2 - 6 t k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.a) u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 → b) u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 → o u v → = 0 → c) u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w → d) u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0
Sendo vec u e vec v unitários, ‖vec w‖ = 4 , vec u * vec w = - 2 , vec v * vec w = - 4 , e a n g (vec u , vec v) = pi // 3 , calcule:(2 vec u - vec v + vec w) * ( - vec u + vec v )
Sejam u → , v → e w → vetores de norma 1 tais que u → ⋅ v → = w → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 1 / 2 . Verifique se w → é combinação linear de u → , v → .
O lado do quadrado da Figura 9-4 (a) mede 2 e M é o ponto médio de B C .a) Escreva D M → e B D → como combinação linear de D C → e D A → .b) Calcule a medida angular entre D M → e B D → .
Prove que, se vec u != vec 0 , então p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w , para quaisquer vec v , vec w , alpha e beta .