Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 27

Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A gente tem duas curvas:

E na intersecção dessas curvas, iremos encontrar uma reta tangente no ponto

Para que possamos resolver essa questão, primeiro de tudo deveremos encontrar a curva de intersecção. Veja que por essa curva ser interseção, ela pertence tanto a quanto a .

A equação da reta tangente a uma curva vetorial é dada por:

O ponto é o ponto onde temos o valor de para o local de coordenadas cartesianas:

Então iremos encontrar uma parametrização para a nossa curva de interseção. Depois disso, nós iremos encontrar a derivada .

A função nos dará a direção (e também a magnitude, embora isso não seja importante aqui) dos vetores tangentes por natureza da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a curva da interseção. A projeção de no plano está contida no círculo:

E então:

Pois temos que aqui:

Como temos um círculo, podemos parametrizar a partir da função seno e cosseno, assim, podemos escrever:

Passo 3

também está contido no cilindro, como comentamos:

Perto do ponto , então podemos escrever:

E com a parametrização anterior:

Passo 4

Uma equação vetorial então para é:

Isso implica que a derivada de é:

Passo 5

O ponto corresponde a , então o vetor tangente é:

A linha tangente é paralela a esse vetor e passa através dos pontos , então uma equação vetorial para a linha é:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.a) u → ⋅ u → = 0 ⇔ u → = 0 → b) u → ⋅ v → = 0 ⇒ u → = 0 → o u v → = 0 → c) u → ⋅ v → - w → = u → ⋅ v → - u → ⋅ w → d) u → = - v → ⇒ u → ⋅ v → ≤ 0

Sendo vec u e vec v unitários, ‖vec w‖ = 4 , vec u * vec w = - 2 , vec v * vec w = - 4 , e a n g (vec u , vec v) = pi // 3 , calcule:(2 vec u - vec v + vec w) * ( - vec u + vec v )

Sejam u → , v → e w → vetores de norma 1 tais que u → ⋅ v → = w → ⋅ v → = u → ⋅ w → = 1 / 2 . Verifique se w → é combinação linear de u → , v → .

O lado do quadrado da Figura 9-4 (a) mede 2 e M é o ponto médio de B C .a) Escreva D M → e B D → como combinação linear de D C → e D A → .b) Calcule a medida angular entre D M → e B D → .

Prove que, se vec u != vec 0 , então p r o j_vec u (alpha vec v + beta vec w) = alpha p r o j_vec u vec v + beta p r o j_vec u vec w , para quaisquer vec v , vec w , alpha e beta .