Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros x^2 + y^2 = 25 e y^2 + z^2 = 20 no ponto (3, 4, 2) .

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A gente tem duas curvas:

x 2 + y 2 = 25

e

y 2 + z 2 = 20

E na intersecção dessas curvas, iremos encontrar uma reta tangente no ponto

3,4 , 2

Para que possamos resolver essa questão, primeiro de tudo deveremos encontrar a curva de intersecção. Veja que por essa curva ser interseção, ela pertence tanto a x 2 + y 2 = 25 quanto a y 2 + z 2 = 20 .

A equação da reta tangente a uma curva vetorial é dada por:

v t = r t 0 + t × r ' t 0

O ponto t 0 é o ponto onde temos o valor de t para o local de coordenadas cartesianas:

3,4 , 2

Então iremos encontrar uma parametrização r ( t ) para a nossa curva de interseção. Depois disso, nós iremos encontrar a derivada r ' ( t ) .

A função r ' t nos dará a direção (e também a magnitude, embora isso não seja importante aqui) dos vetores tangentes por natureza da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a curva C da interseção. A projeção de C no plano x y está contida no círculo:

x 2 + y 2 = 25

E então:

z = 0

Pois temos que aqui:

x 2 + y 2 + 0 2 = 25

Como temos um círculo, podemos parametrizar a partir da função seno e cosseno, assim, podemos escrever:

x = 5 cos ⁡ t

y = 5   s e n   t

Passo 3

C também está contido no cilindro, como comentamos:

y 2 + z 2 = 20

E:

z ≥ 0

Perto do ponto 3 ,   4 ,   2 , então podemos escrever:

z = 20 - y 2

E com a parametrização anterior:

z = 20 - 25 s e n 2   t

Passo 4

Uma equação vetorial então para C é:

r ( t ) = 5 cos ⁡ t ,   5 s e n   t ,   20 - 25 s e n 2   t

Isso implica que a derivada de r t é:

r ' t = - 5 s e n   t ,   5 cos ⁡ t , 1 2 20 - 25 s e n 2   t 1 2 - 50 s e n   t cos ⁡ t

Passo 5

O ponto 3 ,   4 ,   2 corresponde a t = cos - 1 ⁡ 3 5 = 0,9273 , então o vetor tangente é:

r ' 0,9273 = - 5 s e n   0,9273 ,   5 cos ⁡ 0,9273 , 1 2 20 - 25 s e n 2   0,9273 1 2 - 50 s e n   0,9273 cos ⁡ 0,9273

r ' 0,9273 = - 5 4 5 ,   5 3 5 , 1 2 20 - 25 4 5 2 1 2 - 50 4 5 3 5

r ' 0,9273 = ( - 4,3 , - 6 )

A linha tangente é paralela a esse vetor e passa através dos pontos 3 ,   4 ,   2 , então uma equação vetorial para a linha é:

r t = 3 - 4 t i + 4 - 3 t j + 2 - 6 t k

Resposta

r t = 3 - 4 t i + 4 - 3 t j + 2 - 6 t k

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