Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

∬ D x + 2 d A ,       D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Para resolver esta questão, primeiro precisamos entender o domínio da função, que é definido como um conjunto de valores de entrada onde a função está definida. Aqui, o domínio D é descrito como:

D = x , y | 0 ≤ y ≤ 9 - x 2

Visualmente, essa região representa um semicírculo com raio 3 centrado na origem, limitado pela curva y = 9 - x 2 no primeiro quadrante.

Passo 2

Abaixo, temos o esboço da região:

Passo 3

Nós temos que:

∬ D x + 2 d A = ∬ D x d A + ∬ D 2 d A

∬ D x + 2 d A = ∬ D x d A + 2 ∬ D d A

Sabemos que ∬ D d A indica a área da região. Como a região é um semicírculo e a área do semicírculo é dada por 1 2 π r 2 , temos que:

2 ∬ D d A = 2 1 2 π r 2

2 ∬ D d A = 2 1 2 π   .   3 2

2 ∬ D d A = 9 π

Portanto, a integral de 2 sobre a região D é 9 π . Agora, considerando a função f x , y = x , que é ímpar em relação a x dentro do intervalo [ - 3 , 3 ] , podemos concluir que a integral de x sobre a região D é zero, devido à simetria da função em relação ao eixo y .

Portanto, a integral dupla é:

∬ D x + 2 d A = ∬ D x d A + 9 π

∬ D x d A = 0

Portanto:

∬ D x + 2 d A = 9 π

Resposta

∬ D x + 2 d A = 9 π

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