Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 29
Sejam , e vetores de norma tais que . Verifique se é combinação linear de , .
Passo 1
Bom, o exercício pede para verificarmos se é combinação linear de , . Para isso, basta verificar se o conjunto é LD ou LI. Tomamos,
Se a única forma de satisfazer essa igualdade é , então o conjunto é LI. Se a relação for válida para algum , ou diferente de , então o conjunto é LD!
A sacada aqui é tomar o produto escalar de com ele próprio:
Fazendo a distributiva:
Passo 2
Como os vetores são unitários: . Assim, como , temos que:
A única solução dessa equção é . Portanto, o conjunto é LI, de modo que não pode ser escrito como combinação linear de e .
Uma outro forma de pensar é encontrar que o ângulo entre cada um dos vetores é sempre de , de modo que eles não podem estar todos dispostos no mesmo plano, sendo assim LI!